Conceptualmente, la inversión es una transformación que puede aplicarse en un entorno tridimensional siguiendo los mismo principios que estudiaremos a continuación. No obstante, solo se usa en geometría plana y resulta especialmente útil para la resolución de problemas complejos de tangencias por su capacidad de convertir rectas en circunferencias y viceversa.
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Definición de Inversión en Dibujo Técnico.
La inversión es una transformación geométrica anamórfica en la que, fijado un centro de inversión O, el valor del producto de las distancias a otros dos puntos A y A’ alineados es constante y distinto de 0. Es decir: OA x OA’ = K (Donde K es la potencia).
De este modo, si un punto se acerca al centro de la inversión (también conocido como polo), su inverso se aleja de dicho centro acercándose al infinito. Esta es la forma en la que se compensa el valor de la constante.
Este valor K se denomina constante de la inversión, coeficiente de inversión o potencia de la inversión.
Potencia de Inversión.
Según su potencia, la inversión puede ser negativa o positiva:
- Si K>0, la inversión es positiva y los puntos homólogos están alineados a un mismo lado respecto al centro de inversión.
- Si K<0, la inversión es negativa y los puntos homólogos estarán a distintos lados del centro. En este caso, al no existir raíces de números negativos, la inversión carecerá de circunferencia de punto dobles (lo veremos a continuación).
Determinar la inversión.
Una inversión viene definida por:
- El centro de inversión y dos puntos homólogos.
- El centro de inversión y el valor de la potencia.
Circunferencias de puntos dobles.
La circunferencia de puntos dobles, junto a su centro, también puede definir gráficamente una inversión. Esta circunferencia contiene todos los puntos que son inversos de sí mismos. Su radio será igual a la raíz de la potencia (√k).
Como vemos en el ejemplo, si C=C’, OC=OC’. La potencia K es igual a OC al cuadrado. Por lo tanto OC, que es la medida del radio, es igual a √k.
Otros elementos y figuras dobles.
Existen otros elementos que también son dobles y deberemos tener en cuenta:
- Son rectas dobles todas aquellas que pasan por el centro de la inversión. Como ya sabemos, los puntos inversos están alineados con el centro de la inversión.
- Son circunferencias dobles todas aquellas que pasen por dos puntos inversos.
Otras propiedades de la inversión.
2 pares de puntos inversos no alineados están en una circunferencia doble. Las rectas AB y A’B’ son antiparalelas de AA’ y BB’. Los ángulos que forman un par de rectas concurrentes respecto al otro par son ángulos iguales en orden inverso.
Un par de rectas concurrentes (en este caso AA’ y BB’) son antiparalelas una de la otra respecto a otro par de rectas (AB y A’B’) si la bisectriz del ángulo que forma el primer par de rectas es perpendicular a la bisectriz del ángulo formado por las otras dos.
Figuras Inversas.
Tabla de inversión.
El inverso de un punto es otro punto.
El inverso del centro de inversión O está en el infinito.
La inversa a una recta que pasa por O es ella misma.
La inversa de una recta que no pasa por O es una circunferencia que pasa por O.
La inversa a una circunferencia que pasa por O es una recta que no pasa por O.
La inversa a una circunferencia que no pasa por O es otra circunferencia que tampoco pasa por O.
El resultado de la inversión de una circunferencia va a variar en función de si esta pasa o no por el centro de inversión.
Recta inversa a una circunferencia que pasa por el centro de inversión.
La figura inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta que no pasa por dicho centro. Esto se justifica recordando que el producto de la distancia entre los puntos inversos y el centro es una constante. Cuando uno de estos puntos se acerca al centro, el otro se aleja. De modo que al pasar la circunferencia por el centro O, el inverso de dicho punto estará en el infinito. De hecho, la recta en realidad es una circunferencia de radio infinito.
Recíprocamente, podemos decir que la figura inversa de una recta que no pasa por el centro de inversión es una circunferencia que si pasa por él.
Circunferencia inversa a otra que no pasa por el centro de inversión.
La figura inversa a una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia que tampoco pasa por el centro. Ambas circunferencias mantienen una relación de homotecia, que comparte centro con la inversión y cuya razón es K/P.
Veamos como hallar el inverso de distintos puntos, rectas y circunferencias.
Hallar el inverso a un punto dado.
En los dos siguientes vídeos vemos a ver como hallar el inverso a un punto cuando conocemos la cpd, o el valor de la inversión.
Inversión de un punto exterior a la CPD
Inversión de un punto interior a la CPD
Veamos ahora cómo hallar el inverso a un punto conociendo un par de puntos inversos. Veremos dos casos, uno cuando el punto dado no está alineado con el par de puntos inversos y otro con los tres puntos alineados.
Inversión de un punto conociendo un par de puntos inversos y el centro de inversión.
Inversión de un punto conociendo el centro de inversión, un par de puntos inversos alineados con el punto dado.
Hallar la circunferencia inversa a una recta que no pasa por el centro de inversión.
Veamos como hallar la circunferencia inversa a una recta que no pasa por el centro de inversión. Veremos distintos casos en función de la posición relativa de la recta respecto a la CPD: exterior, tangente y secante.
Inversión de una recta exterior a la CPD
Inversión de una recta secante a la CPD
Inversión de una recta tangente a la CPD
Hallar la circunferencia inversa a una recta que no pasa por el centro de inversión.
Veamos como hallar la circunferencia inversa a otra circunferencia que no pasa por el centro de inversión. Veremos distintos casos en función de la posición relativa de la circunferencia dada respecto a la CPD: exterior, tangente y secante.