Estudiemos ahora una transformación geométrica con gran utilidad tanto técnica como artística.
Índice de Contenidos
- 1 Definición de Homotecia.
- 2 Trazados de homotecia.
- 2.1 Trazar homotecia directa conocido el centro y dos puntos homotéticos.
- 2.2 Trazar homotecia inversa conociendo su centro y dos puntos homólogos.
- 2.3 Trazar homotecia directa de un polígono con razón k= 3.
- 2.4 Trazar homotecia inversa de un polígono con razón k= -2.
- 2.5 Trazar homotecia directa de un polígono con razón k= 4/3.
- 2.6 Trazar homotecia inversa de un polígono con razón k= -4/3.
- 2.7 Establecer relación de homotecia entre 2 circunferencias.
Definición de Homotecia.
La homotecia es una transformación isomórfica que cumple las siguientes condiciones:
- Los puntos homotéticos están alineados con el centro de la homotecia. A y A’ serían puntos homólogos que se encuentran alineados con un punto O, que es el centro de la homotecia.
- Las rectas homotéticas son paralelas.
Razón de la homotecia.
La razón de la homotecia es la relación de distancias entre el centro de la homotecia y cada uno de los puntos homólogos. Esta razón es una constante k, donde tomando como ejemplo dos puntos K = OA’/OA.
La homotecia puede ser directa o inversa según si su centro se encuentra a un extremo de los puntos homólogos o entre ellos. Cuando la homotecia es directa el coeficiente de la razón será positivo y si es inversa, será negativo.
Homotecia directa.
Cuando la razón es positiva, estamos ante una homotecia directa, también llamada homotecia positiva, y los puntos homotéticos están situados a un mismo lado del centro de la homotecia. Se pueden dar los siguientes 3 casos:
- OA’/OA=K>1 (ampliación) La figura homotética es mayor y/o está situada a mayor distancia del centro de la homotecia.
- OA’/OA=K=1 (igualdad) La figura homotética es la propia figura original.
- OA’/OA=K<1 (reducción) La figura homotética es menor y/o está situada a menor distancia del centro de la homotecia.
Homotecia inversa
Cuando la razón es negativa, la homotecia es inversa, también llamada homotecia negativa, y los puntos homotéticos están situados cada uno a un lado del centro de la homotecia. Se pueden dar tres casos:
- OA’/OA=K>-1 (ampliación) La figura homotética es mayor y/o está situada a mayor distancia del centro de la homotecia.
- OA’/OA=K=-1 (igualdad) La figura homotética está a la misma distancia del centro de la homotecia y tiene el mismo tamaño que la figura original.
- OA’/OA=K<-1 (reducción) La figura homotética es menor y/o está situada a menor distancia del centro de la homotecia.
Determinación de una homotecia.
Una homotecia queda determinada cuando conocemos alguno de los siguientes datos:
- La figura, un punto homólogo y el centro de la homotecia.
- La figura, el centro y la razón de la homotecia.
- La figura y un par de puntos homólogos.
Trazados de homotecia.
Trazar homotecia directa conocido el centro y dos puntos homotéticos.
Trazar homotecia inversa conociendo su centro y dos puntos homólogos.
Trazar homotecia directa de un polígono con razón k= 3.
Trazar homotecia inversa de un polígono con razón k= -2.
Trazar homotecia directa de un polígono con razón k= 4/3.
Trazar homotecia inversa de un polígono con razón k= -4/3.
Establecer relación de homotecia entre 2 circunferencias.
