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Homología.
Una homología es una transformación geométrica homográfica que relaciona dos formas planas, generadas por sección , pertenecientes a una misma radiación. Es una transformación proyectiva tridimensional, pero al tratarse de una homografía es posible su resolución plana abatimiento de los planos y proyección. Esta circunstancia será la base para el desarrollo gráfico de los sistemas de representación.
Dados dos planos P y P’ y un punto O que no pertenece a ellos, se establece una correspondencia entre los puntos de dichos planos. De la siguiente manera, al punto A del plano P le corresponde el punto A’, el cual hallamos por la intersección de la recta OA con el plano P’.
Esta correspondencia establece la perspectividad entre planos. A y A’ son puntos homólogos.
Los homólogos de los puntos impropios, del infinito, del plano P’ son los puntos de la recta límite L. De igual manera los homólogos de la recta L’ son puntos que están en el infinito del plano P. La recta E es la intersección entre ambos planos P y P’.
Como propiedades de esta correspondencia:
- Dos puntos homólogos están alineados con el origen o centro de la radiación O.
- La recta E, considerada eje, es doble. Esto significa que es homóloga de sí misma y contiene los puntos dobles del sistema.
- Una recta que corta al eje se corta en ese mismo punto con su recta homóloga.
Como se ha comentado antes, será necesario abatir en un mismo plano de representación los dos planos que conforman la homología. Este abatimiento se puede hacer uno sobre otro, quedando ambos planos a un lado del eje o abatiéndolos cada plano a un lado del eje.
Para que dos figuras sean homólogas deberán cumplir dos condiciones, que son consideradas propiedades básicas de la homología:
- Los puntos homólogos están alineados con el punto O, centro de la homología.
- Las rectas homólogas se cortan en un punto del eje de la homología.
Como ya vimos, son puntos dobles todos aquellos que sean homólogos de sí mismos. Todos los puntos dobles de una homología están situados en el eje.
Rectas Límites.
En una homología tenemos dos rectas paralelas al eje que se conocen como rectas límite:
- La recta límite RL es el lugar geométrico de los puntos cuyos homólogos están en el infinito.
- La recta límite RL’ es el lugar geométrico de los puntos homólogos de aquellos que están en el infinito.
Una propiedad fundamental de las rectas límite es que la distancia entre RL y el centro de la homología es igual a la distancia entre RL’ y el eje de homología.
Para entender bien qué son y cómo se generan las rectas límite debemos profundizar en el aspecto tridimensional que tiene la homología y que muchas veces se obvia.
Si tomamos cada vez puntos del plano P’ más alejados del eje veremos que sus homólogos también se alejan de este y las rectas de radiación cada vez se aproximan más a ser una paralela a dicho plano P’.
Si tomáramos un punto d’ impropio, del infinito, del plano P’ su recta de unión al centro de radiación sería paralela al plano y su punto homólogo d en plano P estaría a la misma altura (respecto a P’) que el centro de radiación.
Con lo cual, si trazamos por el centro de radiación un plano paralelo al plano P’ estaríamos conteniendo en él todas las rectas de radiación para los puntos situados en el infinito del plano P’. La intersección del plano paralelo a P’ con el plano P produciría la recta límite L donde estarían todos los puntos homólogos a los puntos impropios del plano P’.
Igual sucedería si trazamos un plano paralelo al plano P que pase por el centro de radiación. Obtendríamos la recta límite L’ donde están los homólogos en el plano P’ todos los puntos del plano P situados en el infinito.
De tal modo que las rectas límites de una homología son el lugar geométrico de todos los puntos homólogos de los situados en el infinito del otro plano.
Como están generadas por un sistema de planos paralelos dos a dos, la distancia de una de ellas al eje es la misma que la distancia de la otra al centro de radiación, y viceversa. Y es por este motivo también que las rectas límite serán paralelas al eje. Ambas propiedades se mantendrán cuando el sistema este abatido y representado en el plano.
Existirían dos posibilidades a la hora de abatir los planos para su representación. En función de como se haga las rectas límite quedarán las dos entre el centro de la homología y el eje, o ambas por fuera.
Para hallar las rectas límite de una homología basta con tener en cuenta otra propiedad: Todas las rectas de un plano que se cortan en un punto de su correspondiente recta límite, sus homólogas son paralelas a la dirección del segmento que une dicho punto con el centro de la radiación.
Afinidad (Homología afín).
Si el centro de una homología está situado en el infinito, estamos ante un tipo de homología conocida como afinidad u homología afín. Puesto que el origen de la radiación está en el infinito, los rayos que pasan por puntos homólogos son paralelos entre sí, tienen todas una misma dirección.
En afinidad no encontraremos rectas límite. Puesto que la dirección de los rayos es fija, nunca podrán ir paralelos a los planos de proyección. Otra forma de entenderlo es que al encontrarse el centro de la radiación en el infinito, las rectas límite también estarán en él. A efectos prácticos, esto supone que las rectas límites de una afinidad no aparezcan el el trazado.
Se cumplen las siguientes condiciones:
- Los puntos homólogos están alineados en base a la dirección de la afinidad. Dicho de otro modo, los rayos que unen pares de puntos afines son paralelos a la dirección de afinidad.
- Un par de rectas homólogas de una afinidad, al igual que en la homología, se cortan en el eje.
