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Definición de Triángulo.
También pueden definirse como figuras planas delimitadas por tres rectas que se cortan dos a dos. Los puntos de intersección son los vértices y los segmentos entre ellos los lados.
Propiedades de triángulos.
- La suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es 180º.
- Un triángulo no puede tener más de un ángulo recto u obtuso.
- Cualquier lado de un triángulo siempre es menor a la suma de los otros dos lados, pero mayor que su diferencia.
Tipos de triángulos.
Clasificación de Triángulos según los lados.
Basándonos en la medida relativa de los lados de un triángulo podemos hacer la siguiente clasificación de triángulos según los lados:
- Equiláteros: son triángulos que tienen todos sus lados iguales.
- Isósceles: son triángulos que tienen dos de sus lados iguales.
- Escalenos: son triángulos que tienen todos sus lados desiguales.
Clasificación de Triángulos según sus ángulos.
Según la amplitud de sus ángulos, podemos clasificar los triángulos de la siguiente manera:
- Rectángulos: son triángulos que tienen un ángulo recto (90º). El lado opuesto al ángulo recto se denomina hipotenusa y los otros dos son los catetos. La hipotenusa siempre es mayor que cualquiera de sus catetos. En un triángulo rectángulo los dos ángulos agudos son complementarios, suman 90º.
- Acutángulos: son triángulos que tienen los tres ángulos agudos (miden menos de 90º).
- Obtusángulos: son triángulos que tienen un ángulo obtuso (mayor de 90º).
Rectas y puntos notables de un triángulo.
Veamos cuales son las rectas notables de un triángulo, como se trazan y que puntos de interés se obtienen con el cruce de dichas rectas.
Mediatrices y circuncentro de un triángulo.
Las mediatrices de un triángulo son las propias mediatrices de los lados que lo conforman, las perpendiculares al lado por el punto medio. Las mediatrices de un triángulo se cortan en un punto conocido como circuncentro. Este punto es el centro de la circunferencia circunscrita la triángulo. Es decir, la circunferencia en la cual queda inscrito el triángulo.
Para hallar el circuncentro y trazar la circunferencia circunscrita basta con trazar dos de las mediatrices de un triángulo. El punto en el que se corten será el circuncentro. Hacemos centro en él y abriremos el compás hasta cualquiera de los vértices del triángulo. Trazamos la circunferencia, que deberá pasar por los vértices restantes.
Bisectrices e incentro de un triángulo.
Las bisectrices de un triángulo serán las propias bisectrices de los ángulos internos del triángulo. Estas se cortaran en un único punto conocido como incentro. Este será el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. Es decir, la circunferencia que se encuentra dentro del triángulo y es tangente a sus tres lados.
Para hallar el incentro y trazar la circunferencia inscrita bastará con trazar dos de las bisectrices de un triángulo. El punto en el que se corten será el incentro. Desde él trazaremos una perpendicular a cualquiera de los lados. El segmento que va desde el incentro al punto de corte de la perpendicular con el lado es el radio de la circunferencia inscrita. Con centro en el incentro y el radio mencionado trazamos la circunferencia inscrita, que deberá ser tangente a los tres lados del triángulo.
Alturas y ortocentro de un triángulo.
Las alturas de un triángulo son las rectas que pasando por un vértice son perpendiculares al lado opuesto o a la recta prolongación de este. El punto de corte de la altura con el lado se conoce como pie de la altura. El punto de corte de las alturas de un triángulo es el ortocentro.
Al unir los pies de las alturas obtenemos el triángulo órtico.
Para hallar el ortocentro basta con trazar dos de las alturas de un triángulo.
Triángulo Órtico.
Es el triángulo que se obtiene al unir los pies de las alturas de un triángulo. Las alturas del triángulo inicial son las bisectrices de los ángulos del triángulo órtico.
Este triángulo tiene como propiedad que sus lados son el camino más corto para ir desde un lado del triángulo original a los otros dos.
Medianas y baricentro de un triángulo.
Las medianas son los segmentos que unen los vértices con los puntos medios de los lados opuestos. El punto de corte de las medianas de un triángulo se llama baricentro, también conocido como centroide. Este punto es el centro de gravedad del del triángulo, ya que cada una de las medianas divide al triángulo en otros dos que tienen el mismo área. Otra propiedad interesante del baricentro es que siempre se encuentra a un tercio de la mediana respecto al lado y dos tercios respecto al vértice.
Para hallar el baricentro basta con trazar dos de las medianas de un triángulo. El punto de corte entre ambas será el baricentro.
Segmento de Euler.
Es un segmento en el que están alineados el circuncentro, el baricentro y el ortocentro. Estos puntos siempre mantienen una distancia proporcional entre ellos, estando el circuncentro y el baricentro a 1/3 de la distancia total del segmento. El baricentro está a 2/3 del ortocentro.
Circunferencia de Euler.
Si tomamos como centro el punto medio del segmento de Euler y como radio la mitad del radio de la circunferencia circunscrita, podemos trazar una circunferencia que pasa por 9 puntos de interés del triángulo:
- Punto medio de los lados (pies de las medianas).
- Pies de las alturas.
- Puntos medios de la distancia entre el ortocentro y los vértices.
En la siguiente sección estudiaremos el trazado de triángulos.
